Bir Kontrolcünün Günlüğü

Ölü zamanlı sistemlere değişik mühendislik alanlarında sıklıkla karşılaşılmaktadır. İletişim ağları ve kimyasal süreçlerin yer aldığı sistemlerde geri beslemelerde yer alan zaman gecikmeleri ölü zamanlara örnek olarak verilebilir. Kimyasal sistemlerdeki zaman gecikmeleri genellikle bir tüple ya da başka bir taşıyıcı ile taşınan malzemenin yer değiştirmesi sırasında oluşan gecikmelerdir. Uzay araçlarında yüksekliklerin belirlenmesinde ışık hızının sınırlı olmasından dolayı ölçüm bilgisinin Dünya’ya geç ulaşması ölü zaman oluşmasına neden olmaktadır. Dijital kontrol sistemlerde de bilgisayarın cycle zamanına bağlı olarak ve bilginin ayrık olarak işlenmesinden dolayı ölü zamanlar oluşmaktadır. Sistemlerdeki bu ölü zamanlar (özellikler büyük gecikmeler), sistemlerin verimliğinin ve kararlılığının daha az olmasına sebep olur. Aynı zamanda ölü zamanlar bir kontrolcü için sistemlerin analizini ve sistemlere uygun bir kontrolün tasarlanmasını zorlaştırır.

Sistemlerde yer alan ölü zamanlar

G(s) = e^-sT

biçiminde ifade edilir. Fakat bir polinom yerine üstel bir fonksiyon olarak tanımlanan ölü zaman bu haliyle kök yer eğrisinde çizilemediği için analizinin yapılması da zor olmaktadır. Bunun için iki yöntem önerilmiştir. Bunlardan biri “yaklaştırma”, diğeri ise “açı koşulunun direk uygulanması”dır.

“Yaklaştırma” yönteminde rasyonel olmayan üstel fonksiyon rasyonel bir fonksiyon olarak ifade edilmeye çalışılacaktır. Bir kontrolcü genellikle düşük frekanslı sistemlerle ilgilendiği için küçük s değerleri için yapılacak yaklaşımlar (genelikle s=0 dolaylarında) yeterli olacaktır. Rasyonel olmayan üssel denklemlerin rasyonel denklemlere dönüştürülmesinde en sık kullanılan yöntem Henri Pade tarafından geliştirilen Pade yaklaşımıdır. Bu yaklaşımda üssel ifade biçiminde ifade edilen ölü zaman, payının derecesi p ve paydasının derecesi q olan rasyonel bir ifadeye dönüştürülür. p ve q değerlerinin 1 olarak alındığı bir Pade yaklaşımında

olarak bulunur. Eğer p ve q değerlerimizi 2 olarak alacak olursa rasyonel ifademiz

şeklinde olacaktır. Tabii ki 2. yaklaşımımız 1. yaklaşımımıza göre daha fazla değer içerdiği için daha doğru bir sonuç verecektir. Bununla beraber genellik ölü zamanın küçük olduğu sistemlerde p=0 ve q=1 olarak alındığı yaklaşımlar sistemdeki ölü zamanın rasyonel ifadeye çevrilmesi için yeterli hassasiyette olacaktır. Böyle bir yaklaşım

biçiminde ifade edilir.

Açı koşulunun direk uygulanması yönteminde ise gecikmeli sistemin kök yer eğrisi çizilebilir. Transfer fonksiyonunu

olarak ifade ettiğimiz sistemde G(s) sisteminin fazı ’nin fazıyla λw toplamına eşittir. Burada s=λ +jw olarak alınmıştır. ’nin fazını 180^o + λw +360^o(l-1) formülü ile hesaplayarak ölü zamanlı sistemin kök yer eğrisini çizebiliriz. Bunun için öncelikle frekansı(w) sabitleriz ve s düzleminde bir yatay çizgi boyunca noktayı bulana kadar devam ederiz. Daha sonra frekans değeri arttırılıp, açı değiştirilerek aynı işlemler tekrarlanır. Aynı şekilde kopma açıları da hesaplanarak gerekli değerler bulunmuş olur. Kök yer eğrisinin çiziminin ardından kök yer eğrisi incelenerek gerekli kontrolör tasarımı yapılabilir.

Ne yazık ki, MATLAB ölü zamanlı sistemlerin kök yer eğrisini ve birim basamak cevabını direk olarak çizememektedir. Gerekli çizimler için öncelikle Pade yaklaşımıyla üssel fonksiyon ile ifade edilen zaman gecikmesi rasyonel hale dönüştürülmelidir. Pade yaklaşımında gerekli değerleri bulmak için MATLAB Control toolbox içerisinde yer alan pade(T,p) komutunu kullanabiliriz. Burada T, saniye cinsinden ölü zaman olup, p ise kaçıncı dereceden yaklaşım yapacağımızı belirten ifadedir. Komutu MATLAB’ta

[num,den]=pade(T,p)

olarak çalıştırmamız çıkış değerlerini almamızda kolaylık sağlayacaktır.

Umarım yazım bu konu hakkında bilgi edinmek arkadaşlar için faydalı olur. Yazım hakkındaki yorumlarınızı ve eklemek istediklerinizi yorum bırakarak iletebilirsiniz. unk