Bir Kontrolcünün Günlüğü

Bir kontrol mühendisi sistemin kararlı olup olmadığını ve kararlılık derecesini bilmek, diferansiyel denklem çözmeden analiz ile sistem performansını tahmin etmek ister. Bir sistemin açık çevriminin analizi ile elde edilecek bilgiler aynı sistemin kapalı çevrimi hakkında bilgi edinilmesini sağlar ve doğrusal kontrol sisteminin analizinde belirli bir sistem parametresine göre karakteristik denklem köklerinin değişiminin incelenmesinden bazı bilgilere ulaşılabilir. İlk kez W. R. Evans tarafından kök yer eğrilerinin temel özellikleri ve sistematik çizilişi geliştirilmiştir.

Kök yer eğrilerinin kullanımı sadece kontrol sistemleriyle sınırlı değildir. Genel kullanım alanımı değişik parametreli cebirsel denklemlerin köklerinin incelenmesi olmakla beraber bir kontrol mühendisi için kök yer eğrisi grafiği sistem parametrelerinin değişimi ile kapalı çevrim sistem köklerinin s düzlemindeki yerini gösteren grafiktir.

Kapalı çevrim sistemlerin geçici hal yanıt karakteristikleri kapalı çevrim kutularının yerlerine bağlıdır. Eğer sistem değişken kazanca sahipse kapalı çevrim sistemin kutuplarlı kazanca göre değişir. Bu yüzden sistemin kazancı değiştikçe kapalı çevrim sistemin kutuplarının nasıl hareket ettiğinin bilinmesi önemlidir. Kök yer eğrileriyle istenilen sistem cevabını elde etmek için uygun kutuplar seçilebilir ve belirlenen bu kutuplar için sistem kazancı belirlenebilir.

Pozitif Kök Yer Eğrisi Çizim Aşamaları

1. K=-∞’dan + ∞’ a giderken bir kökün yer eğrisinde izlediği yola kol denir. Bir kök yer eğrisi grafiğinde açık çevrim sistemin(G(s)H(s)) transfer fonksiyonunda yer alan kutup sayısı kadar kol vardır.

2. K=0 noktalarının açık çevrim sistemin kutuplarında yer alan kök eğrisi K=±∞’da sisteminin sıfırlarındadır.

3. Kök yer eğrileri s-düzlemi reel eksene göre simetriktir.

4. Kök yer eğrisinde K=±∞ giden kolların davranışı asimptotlar tarafından belirlenir. Kök yer eğrisi grafiğinde asimptotların sayısı açık çevrim sistemin kutup sayısı ile açık çevrim sistemin sıfır sayısının farkı kadardır. Asimptot açıları ise aşağıdaki formül ile belirlenir.

5. Asimptotların gerçek eksen üzerindeki kesişme noktası aşağıdaki formül ile hesaplanır.

Asimptotların kesişme noktası aynı zamanda kök eğrisinin ağırlık merkezidir ve bu nokta her zaman s-düzlemi üzerinin reel ekseninde yer alır.

6. Pozitif kök yer eğrisinin sağında yer alan kutup ve sıfırların sayısının toplamı daima tek sayıdır. Bu kural yardımıyla pozitif kök yer eğrilerinin yerleri belirlenebilir.

7. Reel eksen üzerinde yer alan bir noktadan karmaşık eşlenik kutup ve sıfırlarına çizilen doğruların açılarının toplamı sıfırdır. Bu kural açı koşulunu oluşturmaktadır ve aşağıdaki formül yardımıyla pozitif kök eğrisinde yer alan kutup ve sıfırların giriş çıkış açıları belirlenir.

İ=0, 1, 2,… olmak üzere

8. Routh-Hurtwiz kriteri yardımıyla kök eğrisinin s-düzleminde sanal ekseni kestiği ve bu noktanın K değeri hesaplanabilir. Eğer kök eğrisi sanal ekseni birden fazla noktada kesiyorsa bode diyagramından ya da Matlab gibi bir bilgisayar çizim programı yardımıyla bu noktalar bulunabilir.

9. Kök eğrilerinde kopma noktaları G(s)H(s) in s’e göre türevinin sıfır olduğu yerlerdir. Bu noktalar pozitif kök eğrisinin iki kolunun karşılaşma ve ayrılmasının olduğu noktalardır. Aynı zamanda bu noktalar karakteristik denklemde yer alan katlı kutuplardır. Kopma noktaları reel eksen üzerinde olabileceği gibi reel eksen dışında da yer alan kopma noktaları olabilir. Bu durumda pozitif kök eğrisinin reel eksene göre simetrik olma özelliğinden dolayı reel eksen dışındaki kopma noktaları karmaşık eşlenik sayılar olmak zorundadır.

Kök Eğrisi Üzerindeki Bir Noktanın K Kazancının Hesaplanması

Çizdiğimiz kök yer eğrisiyle yardımıyla kök yer eğrisi üzerindeki bir noktaya karşılık gelen K kazancı genlik koşulu yardımıyla hesaplanabilir. K kazancı için genlik koşulu denklemi aşağıdaki gibidir.

Açık Çevrim Sisteme İlave Edilen Kutup ve Sıfırlarının Kök Yer Eğrilerine Etkisi

Bir kontrol tasarımında açık çevrim sisteme eklenecek olan kutup ve sıfırların sisteme üzerindeki etkilerinin bilinmesi tasarımın kolaylaşması açısından önemlidir.

Açık çevrime eklenecek olan kutuplar kök eğrisini sağ yarı s-düzlemine doğru ötelerler.

Açık çevrime eklenecek olan sol yarı s-düzlemi sıfırları kök eğrisinin sol yarı s-düzlemine doğru ötelenmesine neden olur.

Ayrık Verili Sistemlerin Kök Yer Eğrileri

Şimdiye kadar anlatılanlar doğrusal sistemlerde kök yer eğrilerinin çizimi ile ilgiliydi. Aynı yöntem ayrık verili sistemlere de uygulanabilir. Yalnız dikkat edilmesi gerekilen tek nokta, ayrık zamana geçerken transfer fonksiyonun z dönüşümü alındığı için kök yer eğrilerinin s-düzlemi yerine z-düzleminde çizilecek olmasıdır.

MATLAB Yardımıyla Kök Yer Eğrisi Çizimi

Her ne kadar yukarıdaki basit kurallar ile kök yer eğrisinin çizimi yapılabilse de bazen kök yer eğrilerini doğru çizebilmek ya da el ile çizmekle uğraşmamak için bir bilgisayar programına ihtiyaç duyulabilir. Sistem analizinde kontrol tasarımcısına büyük kolaylıklar sağlayan MATLAB Control Toolbox ile kök yer eğrisinin çizimi yapılabilir. Bunun için rlocus fonksiyonu kullanılır. Kullanış biçimi;

[r,k]=rlocus(pay,payda) ya da [r,k]=rlocus(a,b,c,d)

şeklindedir. Burada r, k matrisinde tanımlı K kazançlarına karşılık gelen karmaşık kökleri içeren matristir. Aşağıda rlocus fonksiyonun kullanımına örnek olması amacıyla aşağıda küçük bir örnek verilmiştir.

>>Sistem_pay = [1 1];

>>Sistem_payda = [1 1 2];

>>Sistem_transfer_fonksiyonu = tf(Sistem_pay,Sistem_payda);

>>rlocus(Sistem_transfer_fonksiyonu)

Umarım yazım bu konu hakkında bilgi edinmek arkadaşlar için faydalı olmuştur. Yazım hakkındaki yorumlarınızı ve eklemek istediklerinizi yorum bırakarak iletebilirsiniz. unk